La primera evaluacion esta repetida, me refiero a que hay un resto = num Mod 12 demas.
Luego, como esta planteado tienen que cumplirse todas las condicones para que la variable Multiplo tenga un valor. Por tanto creo que la cadena de if se puede reempazar por cadenas de And, asi:
If (num Mod 12) = 0 And (num Mod 8) = 0 And (num Mod 6) = 0 And (num Mod 5) = 0 And (num Mod 4) = 0 Then
Multiplo = num
End If
Saludos
Sin embargo, si esos son los numeros con los que vas a evaluar diria casi con seguridad que la condición solo es verdadera para 120, 240, 360, 480, etc. Por tanto queda recudida a esto:
If Right(num / 12, 1) = 0 And (num Mod 12) = 0 Then
Multiplo = num
End If
Ah, lo olvidaba, para el valor mas cercano se me ocurre que habría que hacerlo recursivo,